П. М. Эрдниев, Кандидат педагогических наук

Пюрвя Мучкаевич Эрдниев, заведующий кафедрой математики Калмыцкого государственного университета (Элиста). Преподает математику; работает над проблемой интенсификации процесса обучения в средней и высшей школе. Основные работы: Сравнение и обобщение при обучении математике. М., 1960; Взаимно обратные действия в арифметике (2—4 классы). Я., 1969; Аналогия в математике. М., 1970; Методика упражнений по математике. М., 1970.

В Директивах XXIV съезда КПСС по пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1971—1975 гг. поставлена задача осуществления дальнейшего всестороннего развития народного образования и совершенствования учебно-воспитательного процесса в соответствии с требованиями научно-технического прогресса. В публикуемой статье автор развивает идеи усовершенствования преподавания, основанные на использовании достижений системных исследований и кибернетики.

Быстрый рост объема информации ставит перед педагогикой трудную и неотложную задачу «сжатия» учебного процесса, повышения емкости знаний, которые входят в программный минимум школ. Естественная реакция современной педагогики на требование эпохи (больше знаний за меньшее время) — поиски путей синтеза знаний, способов концентрированной подачи и переработки учебной информации.

Анализируя структуру различных программ и учебников, распространенную практику обучения, нельзя не сделать вывода о несовершенстве ее теоретической базы. Основные принципы науки об обучении (дидактики), о систематичности, наглядности, доступности обучения, сформулированные еще в XVII в. Я. А. Коменским, существенно не изменились. В то же время такие понятия, как системность, структурность, обратная связь, разрабатываемые в последние годы, не нашли еще достойного места в дидактике.

Нередко в педагогических исследованиях не различают понятий «систематичность» и «системность». Например, бытующее еще со времен Декарта раздельное изучение аналитической геометрии плоскости и пространства «систематично» в смысле формально-логическом: в каждой из этих частей нет логических противоречий, простое предшествует сложному. При совместном же изучении этих разделов в курсе единой геометрии (о целесообразности которой говорил еще Н. И. Лобачевский) знания оказываются не только систематичными, но и системными благодаря постоянному использованию обучающимся логических приемов обращения суждений и аналогии.

В последние годы в педагогике оживленно обсуждается вопрос о развитии знаний через преодоление («снятие») противоречий, неизбежно возникающих в ходе работы над новым учебным материалом. Правильная методика, способствующая выработке диалектического образа мышления у школьников, отнюдь не должна избегать естественных противоречий, трудностей познания; напротив, нужно в разумных формах намеренно создавать ^ситуации затруднения^ иногда доводя их до парадокса, чтобы научить учащихся способам и путям разрешения этих противоречий в познании. В философском анализе дидактических положений важно исходить из закона единства и борьбы противоположностей.

Познание связано с выбором одной из нескольких возможностей (чаще всего из двух). Так, в математике эта дихотомичность выступает особенно выпукло: всякое вычитание можно представить как сложение; всякое деление — как умножение; ко всякой теореме можно сформулировать обратную (противоположную).

Как же рациональнее изучать взаимосвязанные явления: раздельно во времени и логически изолированно друг от друга или совместно?

Результаты многолетней проверки в наших экспериментальных программах и учебниках подтвердили преимущества второго пути. Взаимосвязанные понятия, действия, преобразования излагаются совместно и изучаются на одних и тех же уроках, причем лейтмотивом такой системы становится познание переходов между понятиями, постижение частей через целое.

Очень полезно и сближение во времени изучения взаимосвязанных вопросов. Различные последовательности изучения тем, различные варианты группирования вопросов молчаливо считаются в дидактике одинаково допустимыми, хотя по главному критерию, по расходу времени, необходимому на их усвоение, они резко различаются.

Вот характерный пример. В течение многих десятков лет по традиции было принято изучать тождественные преобразования в школе в таком порядке: умножение степеней — в VI классе; разложение на множители—вовсе не изучалось; сокращение алгебраических дробей — в VII классе; действия над дробями— в особой теме VII класса и т. д. Таким образом, между этими операциями, представляющими в совокупности разные формы одной обобщенной операции, проходило много недель, даже месяцев. Однако по инерции никто не решался изменить установившийся порядок, из-за которого терялось непроизводительно много времени и энергии учителей и школьников. Чтобы постичь переходы и взаимную связь противоположных операций, надо начинать со слияния этих разрозненных вопросов в единую тему; порядок, в котором выступают элементы, имеет не меньшее значение, чем сами элементы.

Для педагогики важно, насколько быстро она может вооружиться новыми категориями и идеями, которые возникли в последние годы в других науках. В связи с внедрением новых программ нужно разобраться в достоинствах и недостатках линейного и концентрического расположения материала в учебниках.

Линейность и концентризм (т. е. однократность и неоднократность) в расположении материала — взаимосвязанные категории дидактики, и поэтому отрицание одной из них в пользу другой должно быть диалектическим, с сохранением положительного, таким, чтобы в конечном счете выигрывала структурность, целостность знаний. В опыте нашего экспериментального обучения обнаружены явные преимущества линейности высшего порядка (действие высшей ступени следует за действием низшей ступени), когда арифметические действия изучаются попарно, притом сразу в пределах 100 и 1000; такая структура программы позволила во II классе производить действия над круглыми десятками вместе с соответствующими примерами в пределах 100 (7-0 = 56; 56: : 7 = 8; 70 • 8 = 560; 560 : 70 = 8). Понятие концентричности в расположении материала оказывается связанным с цикличностью групп понятий. В современных учебниках за линейным уравнением следует квадратное уравнение, без того чтобы с первым понятием связать понятие того же порядка — линейное неравенство (рис. 1).

Точно так же хорошо оправдывается совмещение квадратного уравнения и квадратного неравенства. Сравнительное изучение взаимосвязанных понятий не только помогает пониманию каждого из них в отдельности, но и создает дополнительные знания в результате взаимопроникновения сравниваемых понятий, их определений, интерпретаций.

В практике обучения недостаточно учитывается именно структурность знаний, зависящая от избранной методической системы, от последовательности изучения разделов, от характера упражнений в учебнике. Структурность знаний может пострадать при изучении, скажем, обыкновенных и десятичных дробей в разных классах (IV и V классы), при отрыве графика линейной функции (VII класс) от ее исследования (IX класс), при изучении интегралов без ознакомления с дифференциалом и т. д. (рис. 2).

Сейчас структурный подход к объекту исследования становится одним из главных методологических принципов. Особенного внимания заслуживает то обстоятельство, что структурно целое (кристалл, молекула, живая клетка или человеческое знание) обладает качеством устойчивости к возмущающим факторам. При изучении учебного предмета структурно целостными единицами пропущенные (или подвергшиеся забвению) элементы знаний могут сами (спонтанно), без усилия обучающего, восстанавливаться в мышлении. Структурные знания — одно из главных условий развития мышления и взрослого и школьника.

Теперь понятно, почему традиционная система обучения математике, по которой в течение недели первоклассники должны были изучать только таблицу сложения, а таблицу вычитания — на других уроках, была скучной и неэффективной. В течение нескольких дней школьники употребляли слова «больше», «старше», «дороже» и т. д., а полярные им понятия («меньше», «моложе», «дешевле» и т. д.), не имеющие смысла вне противопоставления с первыми, появлялись только через неделю. В новых программах по математике для начальной школы этот метафизический подход к обучению в известной мере преодолен, созданы гораздо лучшие условия для сближения во времени взаимосвязанных понятий: в начальных классах арифметику изучают по двум структурным разделам: «сложение — вычитание», «умножение — деление».

Поучителен следующий характерный пример. Большинство поступавших в один из педагогических институтов допускали грубейшие ошибки при решении простейшего неравенства вида, хотя решение соответствующего уравнения tin х = Ч2 тривиально. В чем же причина подобного казуса? В обычной практике обучения тригонометрические неравенства не противопоставляются тригонометрическим уравнениям. Между тем оказывается выгодным совместное решение таких уравнений и неравенств на основе одного чертежа (рис. 3).

Подобно тому, как возводить здание удобно и быстро из крупных блоков, так же выгодно намеренно создавать системы знаний по крупным узловым пунктам программы, укрупненными единицами. Повсюду в этих случаях проявляется диалектическая закономерность: целое содержит больше информации, чем сумма информаций, содержащихся во всех частях, слагающих это целое. Традиционная дидактика, в силу ее аналитичности, была направлена преимущественно на элементы знаний и не учитывала дополнительную информацию целого, информацию высшего уровня. Информативную емкость отдельных фраз, правил, теорем можно повысить сдваиванием их в записях. Например: при плавлении / отвердевании вещества его температура не изменяется, а внутренняя энергия увеличивается / уменьшается.

Для примера рассмотрим методику работы над взаимно обратными теоремами.

Свойство параллелограмма

Если четырехугольник является параллелограммом, то в нем противоположные стороны равны.

Признак параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то он является параллелограммом.

Эти две теоремы изучаются сейчас одна после другой через неделю (в VII классе). Если же исходить из тезиса о необходимости эксплуатации оперативной памяти (30—40 минут), из того, чтобы воспринятые слова и фразы, если возможно, входили в два и больше суждений, теорем, то понятно, почему оправдывается совместное изучение этих взаимно обратных теорем. Самое примечательное заключается здесь в том, что удается записать совместно, в одной схеме, не только условия обеих теорем, но и доказательства их (рис. 4).

По данной схеме осуществляется сначала анализ доказательства посредством суждений: чтобы доказать (I), надо доказать (II) и т. д., и таким образом исходный этап сводится к нанизыванию цепи необходимых условий. Синтетическое доказательство, осуществляемое тут же вслед за анализом, представляет цепь силлогизмов из достаточных условий: если истинно (IV), то истинно (III).

Зрительное моделирование указанных процессов в схемах существенно облегчает переработку соответствующей информации, делая неизбежным соединение анализа с синтезом. При одновременном изучении двух обратных теорем одни и те же слова и словосочетания используются дважды в двух формах мысли, рационально используются и резервы оперативной (кратковременной) памяти. Взаимно обратные теоремы представляют в сущности одну сложную, точнее, двойственную единицу запоминания — теоретическое свойство фигуры.

Оптимизация процесса обучения возможна лишь на основе соблюдения универсального принципа обратных связей. Обратная связь существует там, где имеется явление коррекции, контроля, серия поправок, непрерывно совершаемых по ходу выполнения упражнения. Принцип обратных связей сейчас успешно используется почти во всех науках. Понятие «обратная связь» позволяет найти причинное объяснение и к некоторым педагогическим явлениям. Так, если учитель на уроке больше говорит сам и не спрашивает учащихся (или невнимательно слушает их ответы), то ослабевает поток «обратной информации», а поэтому снижается и результативность обучения-; взаимный обмен информацией обеспечивает корректировку деятельности обучаемого и обучающего.

Формула «однообразие утомляет и усыпляет» имеет отношение не только к знаменитым физиологическим опытам И. П. Павлова, но и к обучению людей. Объясним сказанное на примере изучения интегрирования функций. Если, как это обычно бывает, мы ограничиваемся решением примеров вида:

ученик, зная соответствующие правила, без труда справляется с заданием. Но, когда подавляющее большинство упражнений имеет только такую структуру, эта видимая «простота заданий» становится источником формализма знаний учащихся.

Характер мыслительных операций меняется коренным образом, если предложить студенту восстановить пропущенные элементы, скажем, в следующем выражении:

В этом случае возникает живой интерес учащихся к новым знаниям.

Деформированный пример содержит по форме столько же знаков, что и обычный, но он поневоле заставляет мышление оперировать иначе; решение его предполагает замыкание связи, процесс «подгонки» ответов под условие примера. Стало быть, для постижения сущности простого правила отнюдь недостаточно решать как можно больше примеров именно на это правило (как полагается, согласно канонам традиционной дидактики), а нужно создавать новые виды упражнений, вызывающие обратные связи.

Одно из понятий кибернетики, позволяющее по-новому осмыслить проблему рационального обучения,— понятие информации. Из теории информации известно, что чем больше знаков в смысловой единице сообщения, тем длиннее сообщение, выше его надежность, тем легче исправляются мозгом ошибки, возникающие на этажах передачи и переработки информации, заключенной в связях между символами или их группами.

Так, начальные буквы слова (или начальные слова фразы) предвосхищают соответственно окончание слова (фразы) и облегчают их угадывание. Поэтому-то человек при быстром чтении лишь схватывает начала слов или даже фраз и, не читая окончания, домысливает его.

Чтобы использовать этот «эффект опережения», надо отдельное упражнение достраивать до более крупного и тем самым сделать его внутренне сложным: иначе говоря, выгодно переводить всюду, где возможно, знание из «атомарного» состояния в «молекулярное».

В данной связи значительный интерес для педагогики представляет концепция проф. Н. М. Амосова об этажной переработке информации в мозгу человека системой все усложняющихся кодов (знаков, слов, фраз). Согласно этим представлениям, мозг человека перерабатывает информацию одновременно всеми указанными кодами; это означает, что некоторые сведения человек извлекает и перерабатывает автоматически, неосмысленно, на самых низших кодах, без участия сознания. Скажем, реакция отдергивания руки от горячего предмета совершается без участия коры головного мозга.

Для облегчения работы памяти и мышления мало еще используются колоссальные возможности нижних кодовых систем: удачное расположение записей (например, параллельная запись двух правил об изменении суммы и произведения), варьирование размеров шрифтов, всевозможные подчеркивания, особые значки (символы) в тексте, позволяющие отличать существенное от второстепенного, симметрия и «выразительность» чертежей и графиков, насыщение их цветом, контрастом. Всюду в этих случаях используется зрительный канал психики, который обладает почти в 100 раз большей пропускной способностью, чем слуховой (рис. 5).

Нередко в процессе обучения наблюдается боязнь «механических» приемов запоминания материала, причем происходят они из псевдонаучного представления, будто логическому мышлению можно научить, пользуясь только верхними кодовыми системами (словом, фразой, выявлением смысла).

Между тем нижние коды (звуки, буквы, отдельные знаки, символы, цвет, форма записей и пр.) служат фундаментом, на котором строятся верхние кодовые системы по извлечению смысловой информации. Заучивание стихотворного текста происходит быстрее, чем прозы, ибо в стихотворении «работают» не только логические связи (высший код), но и ритмика, рифма (низший код).

Нечто подобное происходит при изучении групп упражнений, полученных одно из другого тем или иным преобразованием: скажем, в паре прямой и обратной теорем (задач, функций) имеются не только общие логические моменты (связи высшего уровня), но и общие дологические элементы: одни и те же буквы, обозначения, симметрия между прообразом и образом (точками и линиями) и другие формальные соответствия. Короче, противопоставление всюду, где возможно, надо начинать на низших кодовых системах!

Изучая на малом интервале времени (чаще всего — в пределах одного урока) группы понятий, преобразований, теорем, определений, связанных друг с другом по форме и содержанию, мы осуществляем, говоря языком кибернетики, передачу информации более длинными последовательностями символов, что должно повышать (и повышает!) надежность передаваемой информации, улучшает прочность запоминания материала.

Укрупнение единицы усвоения знаний создает благоприятные условия для систематического и более частого выбора учеником в мыслительных операциях между несколькими возможностями: умножение или деление; увеличение или уменьшение; положительное или отрицательное число; прямая или обратная пропорциональность; прямая или обратная теорема; прямая или обратная функция; придаточное предложение условия или причины.

При этой системе ученик извлекает дополнительную информацию, поскольку он непроизвольно выбирает из большего числа возможных действий, знаков, понятий, суждений, ходов мыслей. Информация извлекается там, где есть выбор, и извлекается тем больше, чем чаще делается этот выбор.

Укрупнение дидактической единицы усвоения знаний оказывается мощным средством, позволяющим достичь почти по каждому учебному предмету существенного (15—20%) сокращения времени выполнения учебных планов при одновременном улучшении усвоения знаний.

10 июня 1971 года.